Question

13．设函数y=f（x）是定义在R₊上的函数，并且满足下面三个条件：（1）对任意正数x、y，都有f（xy）=f（x）+f（y）；（2）当x＞1时，f（x）＜0；（3）f（3）=-1，
（1）求f（1）、$f（\frac{1}{9}）$的值；
（2）判断函数的单调性并证明
（3）如果不等式f（x）+f（2-x）＜2成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分别令x=y=1，x=y=3，可得f（1）和f（9），再令x=9，y=$\frac{1}{9}$，可得f（$\frac{1}{9}$）；
（2）f（x）在（0，+∞）递减．运用单调性的定义，结合条件（2），即可得到结论；
（3）由题意可得f[x（2-x）]＜2=f（$\frac{1}{9}$），由f（x）在（0，+∞）递减，得到不等式组，解不等式求交集，即可得到所求范围．

解答 解：（1）令x=y=1，可得f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），
可得f（1）=0；
令x=y=3，则f（9）=f（3）+f（3）=-2，
令x=9，y=$\frac{1}{9}$，可得f（1）=f（9）+f（$\frac{1}{9}$），
即有f（$\frac{1}{9}$）=f（1）-f（9）=0-（-2）=2；
（2）f（x）在（0，+∞）递减．
理由：设x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$＞1，可得f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜0，
又f（x₂）=f（x₁）+f（$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$）＜f（x₁），
则f（x）在（0，+∞）递减；
（3）f（x）+f（2-x）=f[x（2-x）]＜2=f（$\frac{1}{9}$），
由f（x）在（0，+∞）递减，
可得$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{2-x＞0}\\{x（2-x）＞\frac{1}{9}}\end{array}\right.$，即为$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＜2}\\{1-\frac{2\sqrt{2}}{3}＜x＜1+\frac{2\sqrt{2}}{3}}\end{array}\right.$，
解得1-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$＜x＜1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
则x的取值范围为（1-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，1+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$）．

点评 本题考查抽象函数的应用，注意运用赋值法，考查函数的单调性的判断，注意运用定义法，考查单调性的运用：解不等式，注意函数的定义域，考查化简整理的运算能力，属于中档题．