Question

3．如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，CE⊥BE，DE=1，DC=2，AB=2$\sqrt{7}$，∠CDE=$\frac{2π}{3}$
（Ⅰ）求sin∠CED的值及BC的长；
（Ⅱ）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知及余弦定理可求CE的值，进而利用正弦定理可求sin∠CED=$\frac{CD•sin∠CDE}{CE}$的值．
（Ⅱ）由∠CED+∠AEB=$\frac{π}{2}$，∠ABE+∠AEB=$\frac{π}{2}$，及（Ⅰ）可求sin∠ABE=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，利用同角三角函数基本关系式可求cos∠ABE，在直角三角形△ABE中，可求BE，AE的值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（Ⅰ）∵DE=1，DC=2，∠CDE=$\frac{2π}{3}$，
∴由余弦定理可得：CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}-2CD•DE•cos∠CDE}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}-2×1×2×（-\frac{1}{2}）}$=$\sqrt{7}$，
∴由正弦定理$\frac{CE}{sin∠CDE}=\frac{CD}{sin∠CED}$，可得：sin∠CED=$\frac{CD•sin∠CDE}{CE}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．
（Ⅱ）∵∠CED+∠AEB=$\frac{π}{2}$，∠ABE+∠AEB=$\frac{π}{2}$，
∴sin∠ABE=sin∠CED=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，cos∠ABE=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{21}}{7}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，tan∠ABE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵AB=2$\sqrt{7}$，
∴在△ABE中，由cos∠ABE=$\frac{AB}{BE}$，可得：BE=$\frac{AB}{cos∠ABE}$=$\frac{2\sqrt{7}}{\frac{2\sqrt{7}}{7}}$=7，AE=BE•sin∠ABE=7×$\frac{\sqrt{21}}{7}$=$\sqrt{21}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△CDE+S_△CBE+S_ABE=$\frac{1}{2}DE•CD•sin∠CDE$+$\frac{1}{2}$BE•CE+$\frac{1}{2}AB•AE$=$\frac{1}{2}$×$1×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{1}{2}×7×\sqrt{7}$+$\frac{1}{2}×2\sqrt{7}×\sqrt{21}$=$\frac{15\sqrt{3}+7\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．