Question

11．图1为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．

（1）图2方框内已给出了该几何体的俯视图，请在方框内画出该几何体的正（主）视图和侧（左）视图；
（2）求证：BE∥平面PDA．
（3）求四棱锥B-CEPD的体积．

Answer 1

分析 （1）由题设条件能作出该组合体的主视图和侧视图．
（2）推导出EC∥平面PDA，BC∥平面PDA，从而平面BEC∥平面PDA，由此能证明BE∥平面PDA．
（3）推导出平面PDCE⊥平面ABCD，从而BC⊥平面PDCE，由此能求出四棱锥B-CEPD的体积．

解答 解：（1）该组合体的主视图和侧视图如右图示：-----（2分）
证明：（2）∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA，
∴EC∥平面PDA，（3分）
同理可得BC∥平面PDA，（4分）
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC，且EC∩BC=C，
∴平面BEC∥平面PDA，（6分）
又∵BE?平面EBC，∴BE∥平面PDA．（7分）
解：（3）∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，
∴平面PDCE⊥平面ABCD，
∵BC⊥CD，又平面ABCD∩平面PDCE=CD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面PDCE，（10分）
∵S_梯形PDCE=$\frac{1}{2}（PD+EC）•DC=\frac{1}{2}×3×2$=3，（11分）
∴四棱锥B-CEPD的体积${V}_{B-CEPD}=\frac{1}{3}{S}_{梯形PDCE}•BC=\frac{1}{3}×3×2$=2．（12分）

点评 本题三视图的作法，考查线面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、方程思想、整体思想，是中档题．