【题目】已知点在椭圆
上,设
分别为左顶点、上顶点、下顶点,且下顶点
到直线
的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图所示,过点作斜率为
的直线
交椭圆于
,交
轴于点
,若
为
中点,过
作与直线
垂直的直线
,证明:对于任意的
,直线
恒过定点,并求出此定点坐标.
【答案】见解析
【解析】(1)由题意,得直线方程为
,点
,……………1分
∴点到直线
的距离
,整理,得
. ①……………3分
又点在椭圆上,所以
. ②……………4分
联立①②解得,所以椭圆
的方程为
.…………………5分
(2)因为,所以设直线
的方程为
.
由消元得,
,化简得,
,
解得,
. …………………7分
显然,则
,
所以. …………………8分
因为点为
的中点,所以
的坐标为
,则
,
所以直线的斜率为
,
又直线的方程为
,…………………10分
所以令,得
点坐标为
,
所以直线的方程为
,即
,…………………11分
所以直线恒过定点
.…………………12分
【命题意图】本题主要考查椭圆方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,意在考查逻辑思维
与推理论证能力、分析与解决问题的能力、运算求解能力.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】五边形是由一个梯形
与一个矩形
组成的,如图甲所示,B为AC的中点,
. 先沿着虚线
将五边形
折成直二面角
,如图乙所示.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求图乙中的多面体的体积.
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【题目】某教师有相同的语文参考书3本,相同的数学参考书4本,从中取出4本赠送给4位学生,每位学生1本,则不同的赠送方法共有( )
A. 15种 B. 20种 C. 48种 D. 60种
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【题目】某同学在研究函数f(x)= ﹣1(x∈R)时,得出了下面4个结论:①等式f(﹣x)=f(x)在x∈R时恒成立;②函数f(x)在x∈R上的值域为(﹣1,1];③曲线y=f(x)与g(x)=2x﹣2仅有一个公共点;④若f(x)=
﹣1在区间[a,b](a,b为整数)上的值域是[0,1],则满足条件的整数数对(a,b)共有5对.其中正确结论的序号有(请将你认为正确的结论的序号都填上).
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【题目】已知定圆,动圆
过点
且与圆
相切,记圆心
的轨迹为
.
(I)求轨迹的方程;
(Ⅱ)若与轴不重合的直线
过点
,且与轨迹
交于
两点,问:在
轴上是否存在定点
,使得
为定值?若存在,试求出点
的坐标和定值;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,底面
是直角梯形,
,
,
,
是
上的点.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若是
的中点,且二面角
的余弦值为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
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