【题目】已知函数.
(1)当,
时,讨论函数
的单调性;
(2)对于任意,不等式
恒成立,求实数
的最大值.
【答案】见解析
【解析】(1)当时,
,其定义域为
,
.…………………1分
令,
.
①当时,
恒成立,
故恒成立,故
在
上为增函数;…………………2分
②当时,
,令
,得
(
),
当时,
,
为增函数,当
时,
,
为减函数,当
时,
,
,
为增函数,…………………4分
综上,当时,
在
上为增函数;当
时,
在
,
上为增函数,在
上为减函数.…………………5分
(2)不等式等价于,
即等价于
.…………………6分
令,
,则
.…………………7分
再令 ,
,则
,
故在
上为减函数,于是
,…………………9分
从而,于是
在
上为减函数,所以
,…………………10分
故要使恒成立,只要
.…………………11分
综上,的最大值为
.…………………12分
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分.
【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、不等式恒成立等基础知识,意在考查逻辑推理能
力、等价转化能力、运算求解能力,以及考查函数与方程思想、分类讨论思想.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知奇函数f(x)= 的定义域为[﹣a﹣2,b]
(1)求实数a,b的值;
(2)判断函数f(x)的单调性,并用定义给出证明;
(3)若实数m满足f(m﹣1)<f(1﹣2m),求m的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知是椭圆
:
的左,右焦点.
(1)当时,若
是椭圆
上在第一象限内的一点,且
,求点
的坐标;
(2)当椭圆的焦点在
轴上且焦距为2时,若直线
:
与椭圆
相交于
两点,且
,求证:
的面积为定值.
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【题目】已知点在椭圆
上,设
分别为左顶点、上顶点、下顶点,且下顶点
到直线
的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图所示,过点作斜率为
的直线
交椭圆于
,交
轴于点
,若
为
中点,过
作与直线
垂直的直线
,证明:对于任意的
,直线
恒过定点,并求出此定点坐标.
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【题目】已知定义在R上的偶函数f(x),当x∈(﹣∞,0]时的解析式为f(x)=x2+2x
(1)求函数f(x)在R上的解析式;
(2)画出函数f(x)的图象并直接写出它的单调区间.
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【题目】在平面直角坐标系中,圆:
与
轴的正半轴交于点
,以
为圆心的圆
:
(
)与圆
交于
,
两点.
(1)若直线与圆
切于第一象限,且与坐标轴交于
,
,当直线
长最小时,求直线
的方程;
(2)设是圆
上异于
,
的任意一点,直线
、
分别与
轴交于点
和
,问
是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
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【题目】已知且
,函数
.
(1)求的定义域
及其零点;
(2)讨论并用函数单调性定义证明函数在定义域
上的单调性;
(3)设,当
时,若对任意
,存在
,使得
,求实数
的取值范围.
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