【题目】如图,在四棱锥中,
平面
,底面
是直角梯形,
,
,
,
是
上的点.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)若是
的中点,且二面角
的余弦值为
,求直线
与平面
所成角的正弦值.
【答案】见解析
【解析】(Ⅰ)证明:因为平面
,
,∴
,.......................1分
,∴
∴,∴
...........................................2分
又,
.
∴平面
,.................................................................4分
又∵,∴平面
平面
. ...........................5分
(Ⅱ)以为原点,建立空间直角坐标系如图所示, 则
,
,
设(
),则
,
,,
,.......6分
取
则,∴
为面
的法向量
设为面
的法向量,则
,
即,取
,
,
,则
,.............. 8分
依题意,,则
...............9分
于是,
.........................................10分
设直线与平面
所成角为
,则
,
则直线与平面
所成角的正弦值为
. ............................12分
【命题意图】本题主要考查空间线面平行与面面垂直的证明、空间向量在立体几何中的应用,考查空间想象能力与逻辑思维能力等,是中档题.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知点在椭圆
上,设
分别为左顶点、上顶点、下顶点,且下顶点
到直线
的距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)如图所示,过点作斜率为
的直线
交椭圆于
,交
轴于点
,若
为
中点,过
作与直线
垂直的直线
,证明:对于任意的
,直线
恒过定点,并求出此定点坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】人最宝贵的是生命,然而有时候最不善待生命的恰恰是人类自己,在交通运输业发展迅猛的今天,由于不懂得交通法规,以及人们的交通安全观念和自我保护意识还没有跟上时代的步伐,那些在交通复杂多变的地方而引发的交通事故也是接连不断.为了警示市民,某市对近三年内某多发事故路口在每天时间段内发生的480次事故中随机抽取100次进行调研,数据按事发时间分成8组:
(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图.
(Ⅰ)求图中的值,并根据频率分布直方图估计这480次交通事故发生在时间段
与
的次数;
(Ⅱ)在抽出的100次交通事故中按时间段采用分层抽样的方法抽取10次进行个案分析,再从这10次交通事故中选取3次交通事故作重点专题研究.记这3次交通事故中发生时间在与
的次数为
,求
的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对一切x>0,y>0都有,当
时,有
(1)求f(1)的值;
(2)判断f(x)的单调性并加以证明;
(3)若f(4)=2,求f(x)在[1,16]上的值域.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知且
,函数
.
(1)求的定义域
及其零点;
(2)讨论并用函数单调性定义证明函数在定义域
上的单调性;
(3)设,当
时,若对任意
,存在
,使得
,求实数
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列{an}满足a1=9,an+1=an+2n+5;数列{bn}满足b1= ,bn+1=
bn(n≥1).
(1)求an , bn;
(2)记数列{ }的前n项和为Sn , 证明:
≤Sn<
.
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【题目】如图,已知抛物线:
,过焦点
斜率大于零的直线
交抛物线于
、
两点,且与其准线交于点
.
(Ⅰ)若线段的长为
,求直线
的方程;
(Ⅱ)在上是否存在点
,使得对任意直线
,直线
,
,
的斜率始终成等差数列,若存在求点
的坐标;若不存在,请说明理由.
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