Question

将3k（k为正整数）个石子分成五堆。如果通过每次从其中3堆中各取走一个石子，而最后取完，则称这样的分法是“和谐的”。试给出和谐分法的充分必要条件，并加以证明。

Answer 1

证明略

分法是和谐的 充分必要条件 是 最多一堆石子的个数不超过k。 
下面设五堆石子的个数分别为a,b,c,d,e（其中）。
“必要性”的证明： 若分法是和谐的，则把a所对应的石子取完至少要取a次，这a次每次都要取走3个石子。如果 ，则，即把a所对应的一堆取完时，需取走的石子多于五堆石子的总数。矛盾。因此最多一堆石子的个数不能超过k。
“充分性”的证明：（数学归纳法）
（1）  当时，满足“” 的分法只能是1，1，1，0，0。显然这样的分法是和谐的。
（2）  假设时，满足“” 的分法是和谐的。
（3）  当时，若，且分法a,b,c,d,e是不和谐的，则分法a－1,b－1,c－1, d, e也是不和谐的。由（2）及必要性的证明，可知
。
因为，所以。
若，则有 。这与 矛盾。
若，则有 ，从而有，于是有
，这是不可能的。矛盾。
因此当时，分法a,b,c,d,e是和谐的。