Question

【题目】已知函数．

（1）若是函数的一个极值点，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范围；

（3）证明：（为自然对数的底数）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

（1），检验。

（2）将恒成立转换为最值问题，求最小值大于等于0，根据函数的单调性，通过讨论a的范围求出a的具体范围。

（3）等价变形为利用函数的单调性说明。

（1）因为，所以，

因为是函数的一个极值点，故，即，当时，当经验得是函数的一个极值点，所以.

（2）因为在上恒成立，所以。

当时，在上恒成立，即在上为增函数

所以成立，即为所求。

当时，令，则，令则

即在上为减函数，在上为增函数。当时，，这与矛盾.综上所述，的取值范围是。

（3）要证，只需证。两边取自然对数得，，上式等价于，只需要证明，只需要证明，由时，在单调递增。

又，，，从而原命题成立.