Question

设函数f（x）=3^{|x+1|+|x-1|-a}，则使f（x）≥

3

恒成立的a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：依题意，利用指数函数y=3^x的单调性可得|x+1|+|x-1|-a≥

1

2

恒成立．令g（x）=|x+1|+|x-1|，易求g（x）_min=2，从而可得a的取值范围．

解答： 解：∵f（x）=3^{|x+1|+|x-1|-a}≥

3

=3

1

2

恒成立，y=3^x为增函数，
∴|x+1|+|x-1|-a≥

1

2

恒成立．
∴a+

1

2

≤|x+1|+|x-1|恒成立．
令g（x）=|x+1|+|x-1|，
则a+

1

2

≤g（x）_min，
∵g（x）=|x+1|+|x-1|≥|x+1+1-x|=2，
∴g（x）_min=2，
∴a+

1

2

≤2，
解得：a≤

3

2

，即a的取值范围为（-∞，

3

2

]．
故答案为：（-∞，

3

2

]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查构造函数思想、等价转化思想与恒成立问题，求得g（x）=|x+1|+|x-1|的最小值是关键，考查运算求解能力，属于中档题．