Question

16．已知{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，其中n∈N^*．
（1）若a₁=b₁=2，a₃-b₃=9，a₅=b₅，试分别求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设A={k|a_k=b_k，k∈N^*}，当数列{b_n}的公比q＜-1时，求集合A的元素个数的最大值．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n} 的公差为d（d≠0），数列{b_n} 的公差为q（q≠0，1），利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）不妨设${a_n}=a+bn（{b≠0}），{b_n}=p{q^n}（{pq≠0，q≠1}）$，可得a+bn=pqⁿ，即$\frac{a}{p}+\frac{b}{p}n={q^n}$，令$s=\frac{a}{p}，t=\frac{b}{p}（{t≠0}）$，问题转化为求关于n 的方程qⁿ-tn-s=0 最多有多少个解．再利用分类讨论、函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）设数列{a_n} 的公差为d（d≠0），数列{b_n} 的公差为q（q≠0，1），
则$\left\{{\begin{array}{l}{2+2d-2{q^2}=9}\\{2+4d=2{q^4}}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{d=\frac{15}{2}}\\{q=±2}\end{array}}\right.$，
∴${a_n}=\frac{15}{2}n-\frac{11}{2}$，${b_n}={2^n}$ 或-（-2）ⁿ．
（2）不妨设${a_n}=a+bn（{b≠0}），{b_n}=p{q^n}（{pq≠0，q≠1}）$，则a+bn=pqⁿ，即$\frac{a}{p}+\frac{b}{p}n={q^n}$，
令$s=\frac{a}{p}，t=\frac{b}{p}（{t≠0}）$，问题转化为求关于n 的方程qⁿ-tn-s=0 （*）最多有多少个解．
①当t＞0 时，∵q＞1，∴函数f'（x） 单调递增，∴当x＜x₀ 时，f'（x）x₀ 时，f'（x）＞0，f（x） 单调递增，
∴方程（*）在（-∞，x₀） 和（x₀，+∞） 上最多各有1个解． 综上：当n∈N^* 时，方程（*）最多有3个解．
②当t＜0 时，同理可知方程（*）最多有3个解．
事实上，设${a_n}=6n-8，{b_n}={（-2）^n}$ 时，有a₁=b₁，a₂=b₂，a₄=b₄，所以A的元素个数最大值为3．

点评 本题考查了集合的性质、等差数列与等比数列的通项公式及其性质、方程的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．