Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a，b＞0）与双曲线G：x²-y²=4，若椭圆E的顶点恰为双曲线G的焦点，椭圆E的焦点恰为双曲线G的顶点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）是否存在一个以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且

OA

⊥

OB

？若存在请求出该圆的方程，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆、双曲线的标准方程与性质即可得出；
（2）假设存在一个以原点O为圆心的圆x²+y²=r²满足条件，利用直线与椭圆相交得到根与系数的关系，再利用直线与圆相切的性质及垂直与数量积的关系即可得出．

解答：解：（1）由双曲线G：x²-y²=4，得焦点(±2

2

，0)，顶点（±2，0）．
∵椭圆E的顶点恰为双曲线G的焦点，∴a2=(2

2

)2=8，c²=2²=4，∴b²=8-4=4．
∴椭圆E的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）假设存在一个以原点O为圆心的圆x²+y²=r²，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且

OA

⊥

OB

．
当切线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+t，与椭圆的两个交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立

y=kx+t x2 8 + y2 4 =1

，消去y得到关于x的方程（1+2k²）x²+4ktx+2t²-8=0，
必须满足△=16k²t²-4（1+2k²）（2t²-8）＞0，即8k²+4＞t²（*）．
∴x₁+x₂=-

4kt

1+2k2

，x1x2=

2t2-8

1+2k2

．（**）
∵直线l与圆x²+y²=r²，∴

|t|

1+k2

=r，化为t²=r²（1+k²）．①
∵

OA

⊥

OB

，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁=kx₁+t，y₂=kx₂+t．
代入上式得(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0，
把（**）代入上式得

(1+k2)(2t2-8)

1+2k2

-

4k2t2

1+2k2

+t2=0，
化为3t²=8（k²+1），②满足（*）式．
由①②可得r2=

8

3

．
因此此时存在满足条件的圆为x2+y2=

8

3

．
当切线l的斜率不存在时，也满足上述方程．
综上可知：存在一个以原点O为圆心的圆x²+y²=

8

3

，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且

OA

⊥

OB

．

点评：熟练掌握椭圆、双曲线的标准方程与性质、直线与椭圆相交得到根与系数的关系、直线与圆相切的性质、垂直与数量积的关系是解题的关键．