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已知函数, .
(1)若, 函数 在其定义域是增函数,求的取值范围;
(2)在(1)的结论下,设函数的最小值;
(3)设函数的图象与函数的图象交于点,过线段的中点轴的垂线分别交于点,问是否存在点,使处的切线与处的切线平行?若存在,求出的横坐标;若不存在,请说明理由.
(1);(2)当时,的最小值为;当时,的最小值为;当时,的最小值为;(3)不存在点.

试题分析:本题主要考查导数的运算,利用导数研究函数的单调性、不等式基础知识,考查函数思想、构造函数思想、分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,利用导数研究函数的单调性,转化为恒成立问题,再转化为求函数最值问题;第二问,利用配方法求最值,讨论对称轴与区间端点的大小,本问突出体现了分类讨论思想的运用;第三问,把问题坐标化,用反证法证明,利用切线平行,列出方程,构造函数,判断单调性求最值,得出矛盾.
试题解析:(1)依题意:上是增函数,
恒成立,       2分

,则.
的取值范围为                   4分
(2)设,则函数化为

∴当,即时,函数上为增函数.
时,;                     6分
,即时,当时,
,即时,函数上是减函数.
时,                       8分
综上所述,当时,的最小值为.
时,的最小值为.
时,的最小值为.              9分
(3)设点的坐标是则点的横坐标为
在点处的切线斜率为
在点处的切线斜率为       10分
假设在点处的切线与在点处的切线平行,则
                      11分





,则 ①                12分
,则
,∴,所以上单调递增,
,则.
这与①矛盾,假设不成立.故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行.                                 14分
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