Question

【题目】已知函数f（x）= 是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并给以证明；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意：函数f（x）= 是奇函数．

∴f（﹣x）+f（x）=0．

即： =0

化简整理得： =0

可得：a2x+2=a+22x

解得：a=2．

所以实数a的值为2

（2）解：由（1）得f（x）= ，其定义域为R．

函数f（x）在定义域R上单调减函数．证明如下：

设x1＜x2，那么：f（x1）﹣f（x2）= = ，

∵x1＜x2，

∴ ，

故得f（x1）﹣f（x2）＞0．

所以函数f（x）在定义域R上单调减函数

（3）解：由（1）可得f（x）= = = ．

∵

∴f（x） ，

所以函数f（x）的值域为（﹣∞， ）∪（ ，+∞）

【解析】（1）利用奇函数的定义求解即可：即f（﹣x）+f（x）=0．（2）求函数的定义域，利用定法证明其单调性．（3）对函数进行化简，分离常数法，即可得到值域．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数奇偶性的性质的相关知识，掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．