Question

【题目】若二次函数f（x）=x2+bx+c满足f（2）=f（﹣2），且函数的f（x）的一个根为1．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）对任意的x∈[ ，+∞），方程4mf（x）+f（x﹣1）=4﹣4m有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（2）=f（﹣2）且f（1）=0，函数的f（x）的一个根为1，b+c=0，

f（2）=f（﹣2）可得：4+2b+c=4﹣2b+c，

∴b=0，c=﹣1，

∴f（x）=x2﹣1．

（2）解：由题意知：4m2（x2﹣1）+（x﹣1）2﹣1+4m2﹣4≥0在 上有解，

整理得 在 上有解，

令g（x）= ，

∵ ，∴

当 时，函数g（x）得最大值 ，

所以

【解析】（1）利用函数的零点，即可求函数f（x）的解析式；（2）由题意可得4m2（x2﹣1）+（x﹣1）2﹣1+4m2﹣4≥0在 上有解，反例变量，构造函数，利用二次函数的性质求解即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的性质的相关知识，掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．