Question

10．已知一直线过点Q（1，2）且与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1交于M，N两点，求MN的中点轨迹方程．

Answer 1

分析 利用点差法，即可求弦MN的中点的轨迹方程．

解答 解：当直线MN的斜率存在时，
设弦MN的中点P的坐标为（x，y），
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
依题意有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{25}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{16}$=1①
$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{25}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{16}$=1②
$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=x，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=y③
$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{y-2}{x-1}$④，
由点（1，2）代入椭圆方程$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，有$\frac{1}{25}$+$\frac{4}{16}$＜1．
可得直线与椭圆相交．
①-②可得$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{25}$+$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{16}$=0，
将③④代入，可得16x²+25y²-16x-50y=0．
当直线AB的斜率不存在时，中点为（1，0）也满足上式．
综上得：弦MN的中点的轨迹方程为16x²+25y²-16x-50y=0．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系中利用点差法求弦中点轨迹方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．