Question

5．设A={x|x²+4x=0}，B={x|x²+2（a+1）x+a²-1=0}．
（1）若A∪B=A，求实数a的值；
（2）若A∩B=A，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）由A∪B=A得B⊆A，进而可得B=∅或{0}或{-4}或{0，-4}，分别求出a的值，综合可得答案．
（2）根据题意，由A∩B=A可得A⊆B，A={0，-4}，所以-4，0都是B的元素，所以根据韦达定理即可求出a；

解答 解：A={-4，0}，
（1）若A∪B=A，则B⊆A
∴B=∅或{0}或{-4}或{0，-4}；
①当B=∅时，△=[2（a+1）]2-4•（a²-1）＜0⇒a＜-1
②当B={0}时，$\left\{\begin{array}{l}-2（a-1）^{\;}=0\\{a}^{2}-1=0\end{array}\right.$⇒a=-1
③当B={-4}时，$\left\{\begin{array}{l}-2{（a-1）}^{\;}=-8\\{a}^{2}-1=16\end{array}\right.$⇒a不存在

④当B={0，-4}时，$\left\{\begin{array}{l}-2{（a-1）}^{\;}=-4\\{a}^{2}-1=0\end{array}\right.$⇒a=1
∴a的取值范围为（-∞，-1]∪{1}．
（2）∵A∩B=A，
∴A⊆B；
∴-4，0∈B；
∴$\left\{\begin{array}{l}-2{（a-1）}^{\;}=-4\\{a}^{2}-1=0\end{array}\right.$，
解得a=1；
即a的值是1．

点评 本题考查集合间的相互关系，涉及参数的取值问题，解（1）时，注意分析B=∅的情况．