Question

4．利用课本中推导等比数列前n项和的推导方法求和：S_n=1+3x+5x²+…+（2n-1）x^n-1（x≠0）

Answer 1

分析 对x讨论，当x=1时，运用等差数列的求和公式，可得；当x≠0且x≠1时，运用错位相减法，结合等比数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：（1）当x=1时，S_n=1+3+5+…+（2n-1）
=$\frac{1}{2}$（1+2n-1）n=n²．
（2）当x≠0且x≠1时，S_n=1+3x+5x²+…+（2n-1）x^n-1，①
xS_n=x+3x²+5x³+…+（2n-1）xⁿ，②
①-②可得，（1-x）S_n=1+2（x+x²+…+x^n-1）-（2n-1）xⁿ，
=1+2•$\frac{x（1-{x}^{n-1}）}{1-x}$-（2n-1）xⁿ，
即有S_n=$\frac{1+x-[2n+1-（2n-1）x]•{x}^{n}}{（1-x）^{2}}$．

点评 本题考查数列的求和方法：错位相减法，同时考查分类讨论的思想方法和等比数列的求和公式的运用，属于中档题和易错题．