Question

12．设M=a{a|a=x²-y²，x，y∈Z}．
（1）求证：2k+1∈M，（其中k∈Z）；
（2）求证：4k-2∉M，（其中k∈Z）
（3）属于M的两个整数，其积是否属于M．

Answer 1

分析 （1）令x=k+1，y=k，k∈Z；从而证明，
（2）假设4k-2∈M，从而可得4k-2=x²-y²，x，y∈Z，从而可得（x-y）（x+y）不可以是一奇一偶的乘积，从而证明；
（3）设a₁，a₂∈M，则a₁a₂=（x₁²-y₁²）（x₂²-y₂²）=（x₁x₂+y₁y₂）²-（x₂y₁+x₁y₂）²∈M．

解答 解：（1）证明：令x=k+1，y=k，k∈Z；
则a=x²-y²=2k+1∈M．
（2）假设4k-2∈M，
那么4k-2=x²-y²，x，y∈Z，
则$\frac{1}{4}$（x²-y²）+$\frac{1}{2}$=k，
则$\frac{1}{4}$（x-y）（x+y）+$\frac{1}{2}$=k，
则（x-y）（x+y）=2k（2k+1），
又∵（x-y）（x+y）不可以是一奇一偶的乘积，
∴4k-2∉M，（k∈Z）；
（3）设a₁，a₂∈M，则
a₁a₂=（x₁²-y₁²）（x₂²-y₂²）
=x₁²x₂²+y₁²y₂²-（x₂²y₁²+x₁²y₂²）
=（x₁x₂+y₁y₂）²-（x₂y₁+x₁y₂）²∈M．

点评 本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．