Question

2．已知集合A={1，2，3，4，5，6，7}，一一映射f：A→A满足：对任意的x∈A，均有f[f（f（x））]=x，则这样的映射f的个数为351．

Answer 1

分析 根据已知中一一映射f：A→A满足：对任意的x∈A，均有f[f（f（x））]=x，集合A={1，2，3，4，5，6，7}，分类讨论满足条件的映射的个数，综合讨论结果，可得答案．

解答 解：①若f（a）=a，
则对任意的x∈A，均有f[f（f（x））]=x，
则这样的映射f的个数为1个，
②如果从集合A抽取三个元素a，b，c满足：f（a）=b，f（b）=c，f（c）=a，
再从剩下的四个元素抽取三个元素，d，e，f满足：f（d）=e，f（e）=f，f（f）=d，
剩下的元素满足：f（g）=g，
则对任意的x∈A，均有f[f（f（x））]=x，
则这样的映射f的个数为${C}_{7}^{3}{C}_{4}^{3}÷{A}_{2}^{2}$=70个，
③如果从集合A抽取三个元素a，b，c满足：f（a）=c，f（b）=a，f（c）=b，
再从剩下的四个元素抽取三个元素，d，e，f满足：f（d）=f，f（e）=d，f（f）=e，
剩下的元素满足：f（g）=g，
则对任意的x∈A，均有f[f（f（x））]=x，
则这样的映射f的个数为${C}_{7}^{3}{C}_{4}^{3}÷{A}_{2}^{2}$=70个，
④如果从集合A抽取三个元素a，b，c满足：f（a）=b，f（b）=c，f（c）=a，
再从剩下的四个元素抽取三个元素，d，e，f满足：f（d）=f，f（e）=d，f（f）=e，
剩下的元素满足：f（g）=g，
则对任意的x∈A，均有f[f（f（x））]=x，
则这样的映射f的个数为${C}_{7}^{3}{C}_{4}^{3}$=140个，
⑤如果从集合A抽取三个元素a，b，c满足：f（a）=b，f（b）=c，f（c）=a，
再从剩下的四个元素d，e，f，g满足：f（d）=d，f（e）=e，f（f）=f，f（g）=g，
则对任意的x∈A，均有f[f（f（x））]=x，
则这样的映射f的个数为${C}_{7}^{3}$=35个，
⑥如果从集合A抽取三个元素a，b，c满足：f（a）=c，f（b）=a，f（c）=b，
再从剩下的四个元素d，e，f，g满足：f（d）=d，f（e）=e，f（f）=f，f（g）=g，
则对任意的x∈A，均有f[f（f（x））]=x，
则这样的映射f的个数为${C}_{7}^{3}$=35个，
综上这样的映射共有1+70+70+140+35+35=351个，
故答案为：351

点评 本题考查的知识点是映射，分类讨论思想，本题分类标准比较麻烦，容易漏分，难度中档．