Question

15．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AC+BC=2AD=2BD=2，则AB长为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 延长DA，使AE=BC，连接BE，结合已知用勾股定理解Rt△BDE得：cos∠BDE=$\frac{3}{5}$，在△ABD中，由余弦定理可得答案．

解答 解：延长DA，使AE=BC，连接BE，如下图所示：

∵AE=BC，AE∥BC，
∴四边形BCBE是平行四边形，
故AC∥BE且，AC=BE，
∵AC⊥BD，AC+BC=2AD=2BD=2，
故△BDE是Rt△，且BD=AD=1，AE=BE=2，
由勾股定理可得BE=$\frac{4}{3}$，AE=$\frac{2}{3}$，
则cos∠BDE=$\frac{3}{5}$，
在△ABD中，由余弦定理可得：AB=$\sqrt{{AD}^{2}+{BD}^{2}-2AD•BDcos∠BDE}$=$\sqrt{1+1-\frac{6}{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{2\sqrt{5}}{5}$

点评 本题考查的知识点是勾股定理，余弦定理，其中求出cos∠BDE=$\frac{3}{5}$，是解答的关键．