Question

20．已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）+g（x）=$\frac{{4x}^{2}+x}{{2x}^{2}+1}$．
（1）求函数f（x）的解析式，并确定f（x）的单调区间；
（2）若不等式f（kx²）-f（x-x²-2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先将“x”用“-x”代入，然后根据函数奇偶性进行化简，从而求出函数f（x）的解析式，并确定f（x）的单调区间；
（2）若不等式f（kx²）-f（x-x²-2）＜0对任意x∈R恒成立，可得|kx²|＞|x-x²-2|，分离参数，即可求实数k的取值范围．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴f（-x）=f（x），g（-x）=-g（x），
∵f（x）+g（x）=$\frac{{4x}^{2}+x}{{2x}^{2}+1}$，①
∴f（-x）+g（-x）=$\frac{4{x}^{2}-x}{2{x}^{2}+1}$，
∴f（x）-g（x）=$\frac{4{x}^{2}-x}{2{x}^{2}+1}$，②
由①、②得：f（x）=$\frac{4{x}^{2}}{2{x}^{2}+1}$=2-$\frac{2}{2{x}^{2}+1}$，
∴f（x）的单调减区间是（0，+∞），单调增区间是（-∞，0）；
（2）∵不等式f（kx²）-f（x-x²-2）＜0对任意x∈R恒成立，
∴f（kx²）＜f（x-x²-2），
∵f（x）是偶函数，单调减区间是（0，+∞），
∴|kx²|＞|x-x²-2|，
∴|k|＞1-$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$，
∵1-$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{{x}^{2}}$=$2（\frac{1}{x}-\frac{1}{4}）^{2}+\frac{7}{8}$≥$\frac{7}{8}$，
∴|k|＞$\frac{7}{8}$，
∴k$＜-\frac{7}{8}$或k＞$\frac{7}{8}$．

点评 本题考查了函数的奇偶性的应用，考查恒成立问题，确定函数的解析式是关键．