Question

19．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的实轴为A₁A₂，虚轴的一个端点为B，若三角形A₁A₂B的面积为$\sqrt{2}$b²，则双曲线的离心率（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据三角形的面积建立方程关系，建立a，b，c的关系进行求解即可得到结论．

解答 解：设B（0，B），则|A₁A₂|=2a，
∵三角形A₁A₂B的面积为$\sqrt{2}$b²，
∴S=$\frac{1}{2}×2a•b$=ab=$\sqrt{2}$b²，
即a=$\sqrt{2}$b，
则离心率e=$\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2{b}^{2}+{b}^{2}}{2{b}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据三角形的面积建立方程关系进行求解是解决本题的关键．