Question

已知函数f(t)满足对任意实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1，且f(－2)＝－2，

(1)求f(1)的值．

(2)证明：对于一切大于1的正整数t，恒有f(t)＞t．

(3)试求满足f(t)＝t的整数t的个数，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝－1，令x＝y＝－1，因为f(－2)＝－2，所以f(－1)＝－2．令x＝1，y＝－1，有f(0)＝f(1)＋f(－1)，即f(1)＝1． 　　(2)令x＝1，有f(y＋1)＝f(y)＋y＋2，即f(y＋1)－f(y)＝y＋2．所以当y∈N时，有f(y＋1)－f(y)＞0．所以f(y＋1)＞f(y)．由f(1)＝1可知对于一切正整数y，有f(y)＞0．所以当y∈N时，f(y＋1)＝f(y)＋y＋2＝f(y)＋1＋y＋1＞y＋1，于是对于一切大于1的正整数t，恒有f(t)＞t． 　　(3)由f(y＋1)－f(y)＝y＋2及(1)可知f(－3)＝－1，f(－4)＝1．下面证明当整数t≤－4时，f(t)＞t． 　　因为t≤－4，所以－(t＋2)≥2＞0．由f(y＋1)－f(y)＝y＋2，得f(t)－f(t＋1)＝－(t＋2)＞0．即有f(－5)－f(－4)＞0．同理f(－6)－f(－5)＞0…，f(t＋1)－f(t＋2)＞0，f(t)－f(t＋1)＞0．将诸不等式相加，得f(t)＞f(－4)＝1＞－4，因为t≤－4，所以f(t)＞t．综上所述，满足条件的整数只有t＝1，－2．