Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x²+4x-30的零点相同，数列{a_n}，{b_n}定义为：a₁=，2a_n+1=f（a_n）+15，b_n=（n∈N^*）．
（1）求实数a，b的值；
（2）若将数列{b_n}的前n项和与数列{b_n}的前n项积分别记为S_n，T_n证明：对任意正整数n，2ⁿ⁺¹T_n+S_n为定值；
（3）证明：对任意正整数n，都有2[1-（）ⁿ]≤S_n＜2．

Answer 1

（1）解：设方程2x²+4x-30=0的两个实根为α，β，
则α+β=-2，αβ=-15，
∵函数f（x）=x²+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x²+4x-30的零点相同，
∴x²+ax+b=0的两个实根为α，β，
由韦达定理得a=-（α+β）=2，b=αβ=-15．
（2）证明：由（1）知f（x）=x²+2x-15，
从而2a_n+1=a_n（a_n+2），即，
∵2a_n+1=a_n（a_n+2），
∴=
==，
∴T_n=b₁•b₂•b₃…b_n
=
=．
S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（）+（）+…+（）
=，n∈N^*．
∴对任意正整数n，2ⁿ⁺¹T_n+S_n=+=2为定值．
（3）证明：∵a₁＞0，，
∴a_n+1＞a_n＞0，n∈N^*
即{a_n}为单调递增的正数数列，
∵，
∴{b_n}为递减的正数数列，且，
∴，
∵，
∴对任意正整数n，都有2[1-（）ⁿ]≤S_n＜2．
分析：（1）设方程2x²+4x-30=0的两个实根为α，β，则α+β=-2，αβ=-15，由函数f（x）=x²+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x²+4x-30的零点相同，知x²+ax+b=0的两个实根为α，β．由韦达定理能求出a和b．
（2）证明：由（1）知f（x）=x²+2x-15，从而，所以=，由此能够证明对任意正整数n，2ⁿ⁺¹T_n+S_n=+为定值．
（3）由a₁＞0，，知{a_n}为单调递增的正数数列，由，知{b_n}为递减的正数数列，由此能够证明对任意正整数n，都有2[1-（）ⁿ]≤S_n＜2．
点评：本题考查数列与不等的综合应用，综合性强，强度大，计算繁琐，容易出错．解题时要认真审题，注意韦达定理的合理运用，注意培养计算能力．