Question

1．已知定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数．
（1）求证：函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调递减函数；
（2）若f（log_0.5x）＞f（log_0.57），求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数奇偶性和单调性的定义进行转化证明即可．
（2）利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化求解．

解答 证明：（1）设x₁＜x₂≤0，
则-x₁＞-x₂≥0，
∵定义在实数集R上的偶函数f（x）在区间[0，+∞）上是单调递增函数．
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
即f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在区间（-∞，0]上是单调递减函数；
（2）若f（log_0.5x）＞f（log_0.57），
则等价为f（|log_0.5x|）＞f（|log_0.57|），
即|log_0.5x|＞|log_0.57|=-log_0.57，
则log_0.5x＞-log_0.57或log_0.5x＜log_0.57，
即0＜x＜$\frac{1}{7}$或x＞7，
即不等式的解集为（0，$\frac{1}{7}$）∪（7，+∞）．

点评 本题主要考查函数单调性的证明和应用，利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．