Question

6．已知命题p：$\frac{1}{x-1}$＜1，q：x²+（a-1）x-a＞0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-2，-1]
• B． [-2，-1]
• C． [-3，-1]
• D． [-2，+∞）

Answer 1

分析 求解命题P，通过讨论a的取值，从而解出不等式（x+a）（x-1）＞0，判断所得解能否使p是q的充分不必要条件，或限制a后能使p是q的充分不必要条件，综合以上求得的a的范围求并集即可．

解答 解：命题p：$\frac{1}{x-1}＜1$可得，$\frac{2-x}{x-1}＜0$，即：x＜1或x＞2，
命题q：x²+（a-1）x-a＞0，即（x+a）（x-1）＞0，
若-a=1，即a=-1，不等式（x+a）（x-1）＞0的解是x≠1，符合p是q的充分不必要条件；
若-a＞1，即a＜-1，不等式（x+a）（x-1）＞0的解是x＞-a，或x＜1，由x＜1或x＞2，得到-a＜2，符合p是q的充分不必要条件；
若-a＜1，即a＞-1，不等式（x+a）（x-1）＞0的解是x＞1，或x＜-a，∵p是q的充分不必要条件，q：x＜1或x＞2，不满足P是q的充分条件；
综上得a的取值范围是（-2，-1]．
故选：A．

点评 考查充分不必要条件的概念，解一元二次不等式．分类讨论思想的应用．