Question

已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f＝f(x1)－f(x2)，且当x>1时，f(x)<0.

(1)求f(1)的值；

(2)判断f(x)的单调性；

(3)若f(3)＝－1，求f(x)在[2,9]上的最小值．

 

Answer 1

（1）0 （2）函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． （3）－2

【解析】【解析】
(1)令x1＝x2>0，

代入得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0，

故f(1)＝0.

(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1>x2，

则>1，由于当x>1时，f(x)<0，

所以f<0，即f(x1)－f(x2)<0，

因此f(x1)<f(x2)，

所以函数f(x)在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．

(3)∵f(x)在(0，＋∞)上是单调递减函数．

∴f(x)在[2,9]上的最小值为f(9)．

由f＝f(x1)－f(x2)得，

f＝f(9)－f(3)，

而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2.

∴f(x)在[2,9]上的最小值为－2.