Question

（本小题满分13分）已知四棱锥中，，底面是边长为的菱形，，．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）设与交于点，为中点，若二面角的正切值为，求的值．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用面面垂直的判定定理进行证明；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解．

试题解析：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD又ABCD为菱形，所以AC⊥BD,所以BD⊥平面PAC从而平面PBD⊥平面PAC．

（Ⅱ）方法1．过O作OH⊥PM交PM于H，连HD

因为DO⊥平面PAC，可以推出DH⊥PM,所以∠OHD为O-PM-D的平面角 8分

又，且 10分

从而 12分

所以，即． 13分

法二：如图,以为原点,所在直线为轴,轴建立空间直角坐标系，

则,, 8分

从而 9分

因为BD⊥平面PAC,所以平面PMO的一个法向量为． 10分

设平面PMD的法向量为,由得

取，即 11分

设与的夹角为，则二面角大小与相等

从而，得

从而，即．

考点：1．面面垂直的判定定理；2．二面角；3．空间向量的应用．

考点分析： 考点1：空间向量与立体几何 试题属性

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