Question

6．已知不等式|x-3|+|x-4|＜2a．
（1）若a=1，求不等式的解集；  
（2）若已知不等式有解，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，即可求不等式的解集；  
（2）由条件利用绝对值三角不等式求得|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，结合题意可得a的范围．

解答 解：（1）|x-3|+|x-4|＜2，
①x≤3，则3-x+4-x＜2，x＞$\frac{5}{2}$，∴$\frac{5}{2}$＜x≤3          …（2分）
②若3＜x＜4，则1＜2，∴3＜x＜4．…（4分）
③若x≥4，则x-3+x-4＜2，x＜$\frac{9}{2}$，∴4≤x＜$\frac{9}{2}$     …（6分）
综上，不等式的解集为（$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{2}$）．…（8分）
（2）|x-3|+|x-4|≥|x-3-x+4|=1，
∵不等式有解，∴2a＞1，∴a＞$\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于基础题．