Question

【题目】如图，某市若规划一居民小区ABCD，AD=2千米，AB=1千米，∠A=90°，政府决定从该地块中划出一个直角三角形地块AEF建活动休闲区（点E，F分别在线段AB，AD上），且该直角三角形AEF的周长为1千米，△AEF的面积为S．

（1）①设AE=x，求S关于x的函数关系式；
②设∠AEF=θ，求S关于θ的函数关系式；
（2）试确定点E的位置，使得直角三角形地块AEF的面积S最大，并求出S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：①设AF=y，由勾股定理可得x2+y2=（1﹣x﹣y）2，

解得y= （由y＞0可得0＜x＜ ），

可得S= xy= （0＜x＜ ）；

②AF=xtanθ，EF= ，

由x+xtanθ+ =1，可得x= ，

即有S= xy= （0＜θ＜ ）

（2）解：由①得S= （0＜x＜ ），

设1﹣x=t（ ＜t＜1），则x=1﹣t，

S= = （3﹣2t﹣ ）

≤ （3﹣2 ）= ，

当且仅当2t= ，即t= ，即x=1﹣ 时，

直角三角形地块AEF的面积S最大，且为

【解析】（1）①设AF=y，由勾股定理可得y= （由y＞0可得0＜x＜ ），即可得到S的解析式；②AF=xtanθ，EF= ，由周长为1，解得x，即可得到S的解析式；（2）由①得S= （0＜x＜ ），设1﹣x=t（ ＜t＜1），则x=1﹣t，可得S= = （3﹣2t﹣ ）运用基本不等式，可得最大值及x的值．
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点，需要掌握利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值才能正确解答此题．