Question

【题目】设x∈R，f（x）= ，若不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立，则实数k的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】k≥2
【解析】解：∵f（x）= ，
∴函数f（x）在区间（﹣∞，0]上为增函数，在区间[0，+∞）上为减函数，
且函数f（2x）在区间（﹣∞，0]上为增函数，在区间[0，+∞）上为减函数，
令F（x）=f（x）+f（2x），
根据函数单调性的性质可得F（x）=f（x）+f（2x）在区间（﹣∞，0]上为增函数，在区间[0，+∞）上为减函数，
故当x=0时，函数F（x）取最大值2，
若不等式f（x）+f（2x）≤k对于任意的x∈R恒成立，
则实数k的取值范围是k≥2
所以答案是：k≥2
【考点精析】根据题目的已知条件，利用指数函数的单调性与特殊点的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握0<a<1时:在定义域上是单调减函数;a>1时:在定义域上是单调增函数．