Question

【题目】设各项均为正数的数列{an}满足 =pn+r（p，r为常数），其中Sn为数列{an}的前n项和．
（1）若p=1，r=0，求证：{an}是等差数列；
（2）若p= ，a1=2，求数列{an}的通项公式；
（3）若a2015=2015a1 ， 求pr的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由p=1，r=0，得Sn=nan，

∴Sn﹣1=（n﹣1）an﹣1（n≥2），

两式相减，得an﹣an﹣1=0（n≥2），

∴{an}是等差数列

（2）解：令n=1，得p+r=1，∴ ，

则 ，

∴ ，两式相减，

得 ，

∴ ，

化简得 ，

∴ ，

又a1=2适合 ，

∴

（3）解：由（2）知r=1﹣p，

∴Sn=（pn+1﹣p）an，得Sn﹣1=（pn+1﹣2p）an﹣1（n≥2），

两式相减，得p（n﹣1）an=（pn+1﹣2p）an﹣1（n≥2），

易知p≠0，∴ ．

①当 时，得 ，

∴ ，

满足a2015=2015a1；

②当 时，由p（n﹣1）an=（pn+1﹣2p）an﹣1（n≥2），又an＞0，

∴p（n﹣1）an＜pnan﹣1（n≥2），即 ，

∴ ，不满足a2015=2015a1；

③当 且p≠0时，类似可以证明a2015=2015a1也不成立；

综上所述， ， ，∴

【解析】（1）利用递推关系即可得出；（2）利用递推关系与“累乘求积”即可得出；（3）利用递推关系，对q分类讨论即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等差关系的确定和数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．