【题目】设函数,.
(1)若曲线在点处的切线与轴平行,求;
(2)当时,函数的图象恒在轴上方,求的最大值.
【答案】(Ⅰ)a=e;(Ⅱ)a的最大值为2e;
【解析】
(Ⅰ)先求导数,再根据导数几何意义得切线斜率,最后根据条件列方程解得a;(Ⅱ)先求导数,再根据导函数零点与1大小分类讨论,根据函数单调性确定函数最小值,最后根据最小值大于零,解得a的取值范围,即得最大值.
(Ⅰ)∵,∴f'(x)=exa,∴f'(1)=ea,
由题设知f'(1)=0,即ea=0,解得a=e.
经验证a=e满足题意.
(Ⅱ)令f'(x)=0,即ex=a,则x=lna,
(1)当lna<1时,即0<a<e
对于任意x∈(-∞,lna)有f'(x)<0,故f(x)在(-∞,lna)单调递减;
对于任意x∈(lna,1)有f'(x)>0,故f(x)在(lna,1)单调递增,
因此当x=lna时,f(x)有最小值为成立.所以0<a<e,
(2)当lna≥1时,即a≥e对于任意x∈(-∞,1)有f'(x)<0,
故f(x)在(-∞,1)单调递减,所以f(x)>f(1).
因为f(x)的图象恒在x轴上方,所以f(1)≥0,即a≤2e,
综上,a的取值范围为(0,2e],所以a的最大值为2e.
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【题目】已知双曲线C:,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若OMN为直角三角形,则|MN|=
A. B. 3 C. D. 4
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【题目】设不等式组表示的区域为A,不等式组表示的区域为B.
(1)在区域A中任取一点(x,y),求点(x,y)∈B的概率;
(2)若x、y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数,求点(x,y)在区域B中的概率.
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【题目】已知直线,,过点的直线分别与直线,交于,其中点在第三象限,点在第二象限,点;
(1)若的面积为,求直线的方程;
(2)直线交于点,直线交于点,若直线的斜率均存在,分别设为,判断是否为定值?若为定值,求出该定值;若不为定值,说明理由.
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【题目】在平行四边形中,过点的直线与线段分别相交于点,若.
(1)求关于的函数解析式;
(2)定义函数,点列在函数的图像上,且数列是以1为首项,为公比的等比数列,为原点,令,是否存在点,使得?若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.
(3)设函数为上的偶函数,当时,函数的图像关于直线对称,当方程在上有两个不同的实数解时,求实数的取值范围.
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【题目】如图,在长方体中,,,分别是面,面,面的中心,,.
(1)求证:平面平面;
(2)求三棱锥的体积;
(3)在棱上是否存在点,使得平面平面?如果存在,请求出的长度;如果不存在,求说明理由.
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【题目】已知在四棱锥中,底面是边长为的正方形,是正三角形,,分别是的中点。
(1)求证:;
(2)求平面与平面所成锐二面角的大小;
(3)线段上是否存在一个动点,使得直线与平面所成角为,若存在,求线段的长度,若不存在,说明理由.
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【题目】已知非零数列的递推公式为,.
(1)求证数列是等比数列;
(2)若关于的不等式有解,求整数的最小值;
(3)在数列中,是否一定存在首项、第项、第项,使得这三项依次成等差数列?若存在,请指出所满足的条件;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平行四边形中,,,过点作的垂线,交的延长线于点,.连结,交于点,如图1,将沿折起,使得点到达点的位置,如图2.
(1)证明:平面平面;
(2)若为的中点,为的中点,且平面平面,求三棱锥的体积.
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