Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，对任意n∈N^*，满足（1-r）S_n=1-a_n+1，（r＞0），a₁=1，
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设b_n=a_2n-1+a_2n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求．

Answer 1

解：（1）因为数列{a_n}的前n项和S_n，对任意n∈N^*，满足（1-r）S_n=1-a_n+1，（r＞0），a₁=1，
所以（1-r）S_n-1=1-a_n，所以（1-r）a_n=-a_n+1+a_n，
所以，
所以数列{a_n}是以1为首项以r为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，a_n=r^n-1．
又b_n=a_2n-1+a_2n，
S_n=b₁+b₂+…+b_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n=，
当1＞r＞0时，==1-r．
当r=1时==0；
当r＞1时，=0．
分析：（1）由题意通过数列的递推关系式，推出数列相邻两项之间的关系，判断数列是等比数列．
（2）利用（1）求出数列的通项公式，求出S_n，对r分类讨论求出极限值即可．
点评：本题考查数列的极限，等比关系的确定，数列的递推关系式的应用，考查分类讨论思想与计算能力．