【题目】已知圆,点坐标为.
(1)如图1,斜率存在且过点的直线与圆交于两点.①若,求直线的斜率;②若,求直线的斜率.
(2)如图2,为圆上两个动点,且满足,为中点,求的最小值.
【答案】(1)①或1;②或;(2);
【解析】
(1)设直线的方程为:,,,联立直线与圆的方程,消元列出韦达定理,由,则,即,即可求出的值;由,则,解方程组即可;
(2)连结,依题意可得,可得,设点的坐标为,即可得动点点的轨迹;
解:(1)设直线的方程为:,,.
联立方程得:,消去整理可得:.
恒成立,
由韦达定理可得:①,②.
又,,即.
整理可得:.
将①②代入可得:.
,化简得:.
直线的斜率的值为或1.
(2)点,,.
,,整理可得.
都在圆上,,即.
③-④可得:.
将代入解得:.
此时,直线的斜率的值为或.
(3)如图,连结.
,,
又为中点,.
为圆上两点,,
又为中点,.
,又,.
设点的坐标为
,整理可得:.
点的轨迹是以为圆心,为半径的圆.
.
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【题目】随着国家二孩政策的全面放开,为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿,某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女,结果如下表.
非一线城市 | 一线城市 | 总计 | |
愿生 | 45 | 20 | 65 |
不愿生 | 13 | 22 | 35 |
总计 | 58 | 42 | 100 |
附表:
由算得,,
参照附表,得到的正确结论是
A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别有关”
B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“生育意愿与城市级别无关”
C. 有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”
D. 有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”
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【题目】设分别为椭圆的左、右焦点,点为椭圆的左顶点,点为椭圆的上顶点,且.
(Ⅰ)若椭圆的离心率为,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设为椭圆上一点,且在第一象限内,直线与轴相交于点,若以为直径的圆经过点,证明: .
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【题目】某公司要在一条笔直的道路边安装路灯,要求灯柱与地面垂直,灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直,路灯采用锥形灯罩,射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示.已知,,路宽米.设.
(1)求灯柱的高(用表示);
(2)此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小?最小值为多少?
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【题目】椭圆: 的离心率为,过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点, .
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的左顶点为,右顶点为,点是椭圆上的动点,且点与点, 不重合,直线与直线相交于点,直线与直线相交于点,求证:以线段为直径的圆恒过定点.
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【题目】已知四棱锥,底面为菱形, ,H为上的点,过的平面分别交于点,且平面.
(1)证明: ;
(2)当为的中点, ,与平面所成的角为,求二面角的余弦值.
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【题目】给定下列命题:①在中,若则是钝角三角形;②在中, ,,若,则是直角三角形;③若是的两个内角,且,则;④若分别是的三个内角所对边的长,且,则一定是钝角三角形.其中真命题的序号是__________.
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【题目】下表为年至年某百货零售企业的线下销售额(单位:万元),其中年份代码年份.
年份代码 | ||||
线下销售额 |
(1)已知与具有线性相关关系,求关于的线性回归方程,并预测年该百货零售企业的线下销售额;
(2)随着网络购物的飞速发展,有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑,某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法,随机调查了位男顾客、位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种),其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有人、女顾客有人,能否在犯错误的概率不超过的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关?
参考公式及数据:
.
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