Question

已知抛物线C：y  2=4x的准线与x轴交于M点，F为抛物线C的焦点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．
（Ⅰ）若|AM|=

5

4

|AF|，求k的值；
（Ⅱ）是否存在这样的k，使得抛物线C上总存在点Q（x₀，y₀）满足QA⊥QB，若存在，求k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）记A点到准线距离为d，直线l的倾斜角为α，由抛物线的定义知|AM|=

5

4

d，cosα=±

d

|AM|

=±

4

5

，即可得出．
（II）设点Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线与抛物线方程联立可得ky²-4y+4k=0，由

k≠0 16-16k2＞0

得-1＜k＜1且k≠0，利用斜率计算公式可得k_QA=

y0-y1

x0-x1

=

4

y0+y1

，同理k_QB=

4

y0+y2

，由于由QA⊥QB得

4

y0+y1

•

4

y0+y2

=-1．化简可得

y

2 0

+

4

k

y0+20=0，利用△≥0，解出即可．

解答： 解：（I）记A点到准线距离为d，直线l的倾斜角为α，
由抛物线的定义知|AM|=

5

4

d，
∴cosα=±

d

|AM|

=±

4

5

，
∴k=tanα=±

3

4

．
（2）设点Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y2=4x y=k(x+1)

得ky²-4y+4k=0，
由

k≠0 16-16k2＞0

得-1＜k＜1且k≠0，
k_QA=

y0-y1

x0-x1

=

y0-y1

y 2 0 4 - y 2 1 4

=

4

y0+y1

，同理k_QB=

4

y0+y2

，
由QA⊥QB得

4

y0+y1

•

4

y0+y2

=-1．
即：

y

2 0

+y0(y1+y2)+y1y2=-16，
∴

y

2 0

+

4

k

y0+20=0，
△=(

4

k

)2-80≥0，
得-

5

5

≤k≤

5

5

且k≠0，
由-1＜k＜1且k≠0得，
k的取值范围为[-

5

5

，0)∪(0，

5

5

]．

点评：本题考查了抛物线的定义及其性质、直线与抛物线相交转化为方程联立可得根与系数的关系及其判别式的关系、直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．