Question

某同学在研究函数f（x）=

x2+1

+

x2-6x+10

的性质时，受到两点间距离公式的启发，将f（x）变形为f（x）=

(x-0)2+(0-1)2

+

(x-3)2+(0+1)2

，则f（x）表示|PA|+|PB|（如左图），则 
①f（x）的图象是中心对称图形；
②f（x）的图象是轴对称图形；
③函数f（x）的值域为[

13

，+∞)；
④函数f（x）在区间（-∞，3）上单调递减；
⑤方程f[f(x)]=1+

10

有两个解．
上述关于函数f（x）的描述正确的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：两点间距离公式的应用

专题：函数的性质及应用

分析：由函数的几何意义可得函数的值域及单调性，结合函数的值域和单调性逐个选项验证即可作出判断．

解答： 解：∵函数f（x）的最小值为|AB|=

32+(1+1)2

=

13

，
∴函数的值域[

13

，+∞)，显然③正确；
由函数的值域知，函数图象不可能为中心对称图形，故①错误；
又∵直线AB与x轴交点的横坐标为

3

2

，显然有f(

3

2

-x)=f(

3

2

+x)，
∴函数的图象关于直线x=

3

2

对称，故②正确；
由函数的几何意义知函数在区间(-∞，

3

2

]上单调递减，在区间[

3

2

，+∞)上单调递增，故④错误；
令t=f（x），由f(t)=1+

10

得t=0或t=3，由函数的值域可知不成立，∴方程无解，故⑤错误，
故选：B．

点评：本题考查函数的性质，涉及两点间的距离公式，属中档题．