Question

设a，b，c均为正实数
（1）若a+b+c=1，求a²+b²+c²的最小值．
（2）求证：

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

2

a+b

+

2

b+c

+

2

c+a

．

Answer 1

考点：平均值不等式在函数极值中的应用

专题：计算题,证明题,不等式

分析：（1）（法一）a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）=1，结合

a2+b2≥2ab b2+c2≥2bc a2+c2≥2ac

，可求出a²+b²+c²≥

1

3

，（当且仅当a=b=c=

1

3

时，等号成立）；
（法二）由柯西不等式可得，（1+1+1）（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²=1；
（2）化

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

2

[（

1

a

+

1

b

）+（

1

b

+

1

c

）+（

1

a

+

1

c

）]=

1

2

（

a+b

ab

+

b+c

bc

+

a+c

ac

），由ab≤(

a+b

2

)2，bc≤(

b+c

2

)2，ac≤(

c+a

2

)2推导证明．

解答： 证明：（1）（法一）∵a+b+c=1，
∴（a+b+c）²=1，
即a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）=1，
又∵

a2+b2≥2ab b2+c2≥2bc a2+c2≥2ac

，
∴a²+b²+c²≥ab+bc+ac，
∴3（a²+b²+c²）≥1，
∴a²+b²+c²≥

1

3

，
（当且仅当a=b=c=

1

3

时，等号成立），
故a²+b²+c²的最小值为

1

3

．
（法二）由柯西不等式可得，
（1+1+1）（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²=1，
即a²+b²+c²≥

1

3

，
故a²+b²+c²的最小值为

1

3

．
（2）证明：

1

a

+

1

b

+

1

c

=

1

2

[（

1

a

+

1

b

）+（

1

b

+

1

c

）+（

1

a

+

1

c

）]
=

1

2

（

a+b

ab

+

b+c

bc

+

a+c

ac

）
∵ab≤(

a+b

2

)2，bc≤(

b+c

2

)2，ac≤(

c+a

2

)2，
∴

1

2

（

a+b

ab

+

b+c

bc

+

a+c

ac

）
≥

1

2

（

4

a+b

+

4

b+c

+

4

a+c

）
=

2

a+b

+

2

b+c

+

2

c+a

．
故

1

a

+

1

b

+

1

c

≥

2

a+b

+

2

b+c

+

2

c+a

．

点评：本题考查了不等式的应用，应用了基本不等式与柯西不等式，属于中档题．