【题目】已知抛物线,过其焦点
作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线,它们分别交抛物线
于点
、
和点
、
,线段
、
的中点分别为
、
.
(Ⅰ)求线段的中点
的轨迹方程;
(Ⅱ)求面积的最小值;
(Ⅲ)过、
的直线
是否过定点?若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)4;(Ⅲ)直线
恒过定点
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)要求轨迹方程,而且抛物线的弦中点轨迹方程,可设中点,弦两端点为
,
,由点差法得直线斜率
,又此斜率为
,两者相等可得轨迹方程;为了(Ⅱ)的需要,设
方程为
,代入抛物线方程后可得
的一元二次方程,从而有
,那么有
,即把
用
表示,同样把
也用
表示,后消去
可得轨迹方程;(Ⅱ)在(Ⅰ)的基础上,得
坐标,可求得
,把其中的
用
代替,可得得
坐标,
,由
得
的函数,可得最小值;(Ⅲ)利用(Ⅱ)中
的坐标求出直线
的方程(与
有关),变形后发现其过定点,同时证明
斜率不存在时也过这个定点.
试题解析:(Ⅰ)由题设条件得焦点坐标为,
设直线的方程为
,
.
联立,得
.
.
设,
,则
,
,∴
.
∴线段的中点
的轨迹方程为:
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:.
同理,设,则
.
∴,
,
因此.
当且仅当,即
时,
取到最小值4.
(Ⅲ)当时,由(Ⅱ)知直线
的斜率为:
,
所以直线的方程为:
,即
,(*)
当,
时方程(*)对任意的
均成立,即直线
过点
.
当时,直线
的方程为:
,也过点
.
所以直线恒过定点
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某小型餐馆一天中要购买,
两种蔬菜,
,
蔬菜每公斤的单价分别为2元和3元.根据需要
蔬菜至少要买6公斤,
蔬菜至少要买4公斤,而且一天中购买这两种蔬菜的总费用不能超过60元.如果这两种蔬菜加工后全部卖出,
,
两种蔬菜加工后每公斤的利润分别为2元和1元,餐馆如何采购这两种蔬菜使得利润最大,利润最大为多少元?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得=80,
=20,
=184,
=720.
(Ⅰ)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y=bx+a;
(Ⅱ)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;
(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线的焦点为
,直线
与
轴交点为
,与
的交点为
,且
.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)过的直线
与
相交于
两点,若
的垂直平分线
与
相交于
两点,且
四点在同一圆上,求
的方程.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是偶函数,则g(x)=ax3+bx2+cx是( )
A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇又偶函数
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