【题目】已知抛物线的焦点为
,直线
与
轴交点为
,与
的交点为
,且
.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)过的直线
与
相交于
两点,若
的垂直平分线
与
相交于
两点,且
四点在同一圆上,求
的方程.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
或
【解析】
试题分析:(Ⅰ)设点Q的坐标为(,4),把点Q的坐标代入抛物线C的方程,求得
,根据
求得 p的值,可得C的方程.(Ⅱ)设l的方程为 x=my+1 (m≠0),代入抛物线方程化简,利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|.把直线l′的方程代入抛物线方程化简,利用韦达定理、弦长公式求得|MN|.由于MN垂直平分线段AB,故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=
|MN|,由此求得m的值,可得直线l的方程
试题解析:(Ⅰ)设点,
,则
由抛物线定义知
,
所以得
,即
的方程为
;
(Ⅱ)如右图所示,设,
中点为
,
,则由
得,其中
恒成立,
所以,
,
易求得,又
,
所以,
,即
,
代入中得,
,其中
恒成立,
故,
,
又易求得的中点
,
故,而由
共圆知,
,即
,代入得
,同时约去
且化简得
,又
,所以
,即
,也即直线
或
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是( )
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.三棱锥A﹣BEF的体积为定值
D.异面直线AE,BF所成的角为定值
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某学校甲、乙两个班各派10名同学参加英语口语比赛,并记录他们的成绩,得到如图所示的茎叶图.现拟定在各班中分数超过本班平均分的同学为“口语王”.
(1)记甲班“口语王”人数为,乙班“口语王”人数为
,比较
,
的大小.
(2)随机从“口语王”中选取2人,记为来自甲班“口语王”的人数,求
的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线,过其焦点
作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线,它们分别交抛物线
于点
、
和点
、
,线段
、
的中点分别为
、
.
(Ⅰ)求线段的中点
的轨迹方程;
(Ⅱ)求面积的最小值;
(Ⅲ)过、
的直线
是否过定点?若是,求出定点坐标,若不是,请说明理由.
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