Question

17．过抛物线C：y²=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A，B，若|AF|=3|BF|，则l的斜率是$±\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，设出直线l的方程，和抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程后利用根与系数的关系得到A，B两点纵坐标的和与积，结合|AF|=3|BF|，转化为关于直线斜率的方程求解．

解答 解：∵抛物线C方程为y²=4x，可得它的焦点为F（1，0），
∴设直线l方程为y=k（x-1），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去x得$\frac{k}{4}{y}^{2}-y-k=0$．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-4①．
∵|AF|=3|BF|，
∴y₁+3y₂=0，可得y₁=-3y₂，代入①得-2y₂=$\frac{4}{k}$，且-3y₂²=-4，
消去y₂得k²=3，解之得k=±$\sqrt{3}$．
故答案为：$±\sqrt{3}$．

点评 本题考查了抛物线的简单性质，着重考查了舍而不求的解题思想方法，是中档题．