Question

8．已知函数f（x）=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$，g（x）=kx+2，若方程f（x）=g（x）有两个相异的实根，则实数k的取值范围是[$-\frac{1}{2}$，0）．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，利用直线和圆的位置关系，结合直线斜率公式进行求解即可．

解答 解：作出函数f（x）的图象如图：
g（x）=kx+2表示过定点A（0，2）的直线，
当k=0时，直线和半圆相切，只有一个交点，不满足条件．
若k＞0，则直线和圆相离，没有交点，不满足条件．
当k＜0时，当直线经过点B（4，0）时，直线和半圆有2个交点，此时k=$\frac{2-0}{0-4}$=$-\frac{1}{2}$，
∴要使直线和半圆有两个不同的交点，则$-\frac{1}{2}$≤k＜0，
即若方程f（x）=g（x）有两个相异的实根，则实数k的取值范围是$-\frac{1}{2}$≤k＜0，
故答案为：[$-\frac{1}{2}$，0）

点评 本题主要考查函数与方程的应用，根据条件转化为直线和半圆的相交关系是解决本题的关键．