Question

14．设函数f（x）=$\sqrt{a{x}^{2}+x+1}$（a＜0）的定义域为D，若所有点（s，f（t））（s、t∈D）构成一个正方形区域，则函数f（x）的单调增区间为（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{8}$]
• B． [$\frac{1-\sqrt{17}}{8}$，$\frac{1}{8}$]
• C． [$\frac{1-\sqrt{17}}{8}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{8}$]
• D． [$\frac{1}{8}$，+∞）

Answer 1

分析 由所有的点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域知，函数的定义域与值域的区间长度相等，利用二次函数的最值与二次方程的根，先求出a的取值，然后结合复合函数单调性之间的关系即可得到结论．

解答 解：由题意可知：所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，
则对于函数f（x），其定义域的x的长度和值域的长度是相等的，
f（x）的定义域为ax²+bx+c≥0的解集，
设x₁、x₂是方程ax²+bx+c=0的根，且x₁＜x₂
则定义域的长度为|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{b}{a}）^{2}-\frac{4c}{a}}$=$\sqrt{\frac{{b}^{2}-4ac}{{a}^{2}}}$，

而f（x）的值域为[0，$\sqrt{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}}$]，
则由$\sqrt{\frac{{b}^{2}-4ac}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}}$，
得|a|=2$\sqrt{-a}$，平方解得a=-4．
此时f（x）=$\sqrt{-4{x}^{2}+x+1}$，
设t=-4x²+x+1，对称轴为x=$\frac{1}{8}$，
则由t=-4x²+x+1≥0得4x²-x-1≤0，
解得$\frac{1-\sqrt{17}}{8}$≤x≤$\frac{1+\sqrt{17}}{8}$，
∵y=$\sqrt{t}$是增函数，
∴要求函数f（x）的单调增区间为，即求t=-4x²+x+1递增区间，
∵t=-4x²+x+1递增区间是[$\frac{1-\sqrt{17}}{8}$，$\frac{1}{8}$]
∴函数f（x）的单调增区间为[$\frac{1-\sqrt{17}}{8}$，$\frac{1}{8}$]，
故选：B．

点评 本题考查复合函数单调性的判断以及二次函数的性质问题．根据条件求出a的取值是解决本题的关键．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、解方程的思想以及运算的能力．运算量较大，综合性较强，有一定的难度．