Question

2．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|lo{g}_{2}^{x}|，&0＜x≤4\\{x}^{2}-12x+34，&x＞4\end{array}\right.$，若方程f（x）=t（t∈R）有四个不同的实数根a，b，c，d，则abcd的取值范围是（　　）

• A． （30，32）
• B． （32，34）
• C． （32，36）
• D． （30，36）

Answer 1

分析 作出函数的图象，由函数的性质可得ab=1，c+d=12，进而可得abcd=cd=c（12-c）=-c²+12c，（4＜c＜6-$\sqrt{2}$），由二次函数的性质可得．

解答 解：先画出函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|lo{g}_{2}^{x}|，&0＜x≤4\\{x}^{2}-12x+34，&x＞4\end{array}\right.$的图象，如图：
∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．
且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），0＜a＜1，1＜b＜4，4＜c＜6-$\sqrt{2}$，d＞6+$\sqrt{2}$．
∴-log₂a=log₂b，c+d=12，cd＞24．
即ab=1，c+d=12，
∴abcd=cd=c（12-c）=-c²+12c，（4＜c＜6-$\sqrt{2}$），
由二次函数的可得abcd的范围为（32，34）．
故选：B．

点评 本题考查根的存在性及判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．