Question

14．已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对定义域内的任意x，y都有f（x-y）=$\frac{f（x）f（y）+1}{f（y）-f（x）}$成立，且f（1）=1，当0＜x＜2时，f（x）＞0．
（1）证明：函数f（x）是奇函数；
（2）试求f（2），f（3）的值，并求出函数f（x）在[2，3]上的最值．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义以及抽象函数之间的关系即可证明函数f（x）是奇函数；
（2）利用赋值法进行求解，先判断函数的周期性，利用单调性的定义证明函数在[2，3]上的单调性进行求解即可．

解答 （1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称．
又f（x-y）=$\frac{f（x）f（y）+1}{f（y）-f（x）}$，
所以f（-x）=f[（1-x）-1]=$\frac{f（1）f（1-x）+1}{f（1）-f（1-x）}$=$\frac{f（1-x）+1}{1-f（1-x）}$=$\frac{\frac{f（x）f（1）+1}{f（x）-f（1）}+1}{1-\frac{f（x）f（1）+1}{f（x）-f（1）}}$=$\frac{\frac{f（x）+1}{f（x）-1}+1}{1-\frac{f（x）+1}{f（x）-1}}$=$\frac{f（x）+1+f（x）-1}{f（x）-1-f（x）-1}$=$\frac{2f（x）}{-2}=-f（x）$，
故函数f（x）奇函数．
（2）令x=1，y=-1，则f（2）=f[1-（-1）]=$\frac{f（1）f（-1）+1}{f（-1）-f（1）}=\frac{-f（1）f（1）+1}{-f（1）-f（1）}$=$\frac{-1+1}{-2}=0$，
令x=1，y=-2，则f（3）=f[1-（-2）]=$\frac{f（1）f（-2）+1}{f（-2）-f（1）}$=$\frac{-f（1）f（2）+1}{-f（2）-f（1）}$=$\frac{1}{-1}=-1$，
∵f（x-2）=$\frac{f（2）f（x）+1}{f（2）-f（x）}$=$\frac{1}{-f（x）}$，
∴f（x-4）=$\frac{1}{-f（x-2）}=\frac{1}{-\frac{1}{-f（x）}}=f（x）$，
则函数的周期是4．
先证明f（x）在[2，3]上单调递减，先证明当2＜x＜3时，f（x）＜0，
设2＜x＜3，则0＜x-2＜1，
则f（x-2）=$-\frac{1}{f（x）}$，即f（x）=-$\frac{1}{f（x-2）}$＜0，
设2≤x₁≤x₂≤3，
则f（x₁）＜0，f（x₂）＜0，f（x₂-x₁）＞0，
则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）+1}{f（{x}_{2}-{x}_{1}）}＞0$，
∴f（x₁）＞f（x₂），
即函数f（x）在[2，3]上为减函数，
则函数f（x）在[2，3]上的最大值为f（2）=0，最小值为f（3）=-1．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，综合性较强，难度较大．