Question

8．已知单调递增的等比数列{a_n}中，a₅-a₁=15，a₄-a₂=6．
（1）求a_n、S_n；
（2）求证：S₇，S₁₄-S₇，S₂₁-S₁₄成等比数列；
（3）若数列{c_n}满足c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$，其前n项和为T_n，试比较T_n与2的大小．

Answer 1

分析 （1）设等比数列{a_n}的公比为q，运用等比数列的通项，求得首项和公比，再由通项公式和求和公式即可求得；
（2）分别求得S₇，S₁₄，S₂₁，即可判断（S₁₄-S₇）²=S₇（S₂₁-S₁₄），即可得到结论；
（3）分别求得c_n，再由等比数列的求和公式，计算即可得到与2的大小．

解答 （1）解：设等比数列{a_n}的公比为q，
a₅-a₁=15，a₄-a₂=6，
即为a₁q⁴-a₁=15，a₁q³-a₁q=6，
解得a₁=1，q=2，或a₁=-16，q=$\frac{1}{2}$．
则a_n=2^n-1或a_n=-2^5-n，
均满足单调递增的等比数列{a_n}．
则S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，或S_n=$\frac{-16（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=-32+2^5-n．
（2）证明：若S_n=2ⁿ-1，则S₇=2⁷-1，
S₁₄=2¹⁴-1，S₂₁=2²¹-1，S₁₄-S₇=（2¹⁴-1）-（2⁷-1）=2⁷（2⁷-1），
S₂₁-S₁₄=（2²¹-1）-（2¹⁴-1）=2¹⁴（2⁷-1），
则有（S₁₄-S₇）²=S₇（S₂₁-S₁₄），
即为S₇，S₁₄-S₇，S₂₁-S₁₄成等比数列．
同理可得，S_n=-32+2^5-n．计算可得（S₁₄-S₇）²=S₇（S₂₁-S₁₄），
即为S₇，S₁₄-S₇，S₂₁-S₁₄成等比数列．
（3）若a_n=2^n-1，则c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$=2^1-n，
即有T_n=$\frac{1-{2}^{-n}}{1-{2}^{-1}}$=2（1-2^-n）＜2，
若a_n=-2^5-n，则c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}$=-2^n-5，
即有T_n=$\frac{-{2}^{-4}（1-{2}^{n}）}{1-2}$=-2^-4（2ⁿ-1）＜2^-4＜2．
故有T_n＜2．

点评 本题考查等比数列的通项和求和公式，同时考查数列递增的概念和等比数列的性质，以及数列前n项和的性质，属于中档题．