Question

18．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）在抛物线上．
（1）写出该抛物线的方程；
（2）过点P作抛物线的两条弦PD、PE，且PD、PE的斜率k₁、k₂满足k₁•k₂=2，求证：动直线DE过定点，并求定点的坐标．

Answer 1

分析 （1）运用待定系数法，设抛物线方程，代入求解，即可得到所求方程；
（2）设D（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），E（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$．y₂），运用直线的斜率公式和设DE：x=my+n，代入抛物线方程y²=4x，运用韦达定理，可得n=2m-1，代入直线方程，再令x=-1，可得y=-2，即有定点坐标．

解答 （1）解：设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
由P（1，2）在抛物线上，可得4=2p，
解得p=2，即有抛物线方程为y²=4x；
（2）证明：设D（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），E（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$．y₂），
则k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}-2}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}-1}$•$\frac{{y}_{2}-2}{\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}-1}$=$\frac{4}{{y}_{1}+2}$•$\frac{4}{{y}_{2}+2}$=2，
即有y₁y₂+2（y₁+y₂）=4．
设DE：x=my+n，代入抛物线方程y²=4x，
可得y²-4my-4n=0，
即有y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n，
即有-4n+8m=4，即为n=2m-1，
代入直线x=my+n，可得x+1=m（y+2），
令x=-1，可得y=-2．
则动直线DE过定点，定点的坐标为（-1，2）．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时直线的斜率公式和直线恒过定点的求法，属于中档题．