Question

6．已知命题p：方程$\frac{{x}^{2}}{2-m}$+$\frac{{y}^{2}}{m-1}$=1所表示的图形是焦点在y轴上的双曲线，命题q：方程4x²+4（m-2）x+1=0无实根，又p∨q为真，p∧q为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 先根据曲线的标准方程和一元二次方程无实根时△的取值即可求出命题p，q为真时的m的取值范围，然后根据p∨q为真，p∧q为假得到p真q假，或p假q真两种情况，求出每种情况的m的取值范围再求并集即可．

解答 解：若p为真，则：$\left\{\begin{array}{l}{2-m＜0}\\{m-1＞0}\end{array}\right.$；
∴m＞2；
若命题q为真，则：△=16（m-2）²-16＜0；
∴1＜m＜3；
由p∨q为真，p∧q为假知p，q一真一假；
∴$\left\{\begin{array}{l}{m＞2}\\{m≤1，或m≥3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{1＜m＜3}\end{array}\right.$；
∴解得m≥3，或1＜m≤2；
∴m的取值范围是（1，2]∪[3，+∞）．

点评 考查双曲线的标准方程，以及一元二次方程无实根时△的取值情况，p∨q，p∧q的真假和p，q真假的关系．