Question

16．已知在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=4，n≥3时，（n-1）⁴a_n=（n²-2n）²a_n-1，求a_n．

Answer 1

分析 （n-1）⁴a_n=（n²-2n）²a_n-1，n≥3时，可得$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$（\frac{n}{n-1}）^{2}×（\frac{n-2}{n-1}）^{2}$，利用“累乘求积”即可得出．

解答 解：∵（n-1）⁴a_n=（n²-2n）²a_n-1，n≥3时，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$（\frac{n}{n-1}）^{2}×（\frac{n-2}{n-1}）^{2}$，
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$•$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$•a₂
=$（\frac{n}{n-1}）^{2}×（\frac{n-2}{n-1}）^{2}$•$\frac{（n-1）^{2}}{（n-2）^{2}}•\frac{（n-3）^{2}}{（n-2）^{2}}$•…$（\frac{4}{3}）^{2}×（\frac{2}{3}）^{2}$•$（\frac{3}{2}）^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}$×4
=$\frac{{n}^{2}}{（n-1）^{2}}$×$\frac{1}{4}×4$
=$\frac{{n}^{2}}{（n-1）^{2}}$，
当n=2时上式也成立，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{{n}^{2}}{（n-1）^{2}}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推式的应用、“累乘求积”、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．