Question

7．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l₁：2x-y+a=0，l₂：2x-y+a²+1=0，和圆x²+y²+2x-4=0相切，则a的取值范围是（　　）

• A． a＞7或a＜-3
• B． a＞$\sqrt{6}$或a＜-$\sqrt{6}$
• C． a≥7或a≤-3
• D． -3≤a≤-$\sqrt{6}$或$\sqrt{6}$≤a≤7

Answer 1

分析 当两平行直线和圆相交时，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|2×（-1）+a|}{\sqrt{5}}＜\sqrt{5}}\\{\frac{|2×（-1）+{a}^{2}+1|}{\sqrt{5}}＜\sqrt{5}}\end{array}\right.$，求得a的范围，当两平行直线和圆相离时，由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|2×（-1）+a|}{\sqrt{5}}＞\sqrt{5}}\\{\frac{|2×（-1）+{a}^{2}+1|}{\sqrt{5}}＞\sqrt{5}}\end{array}\right.$，求得a的取值范围．再把以上所求得的a的范围取并集后，再取此并集的补集，即得所求

解答 解：当两平行直线和圆相交时，有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|2×（-1）+a|}{\sqrt{5}}＜\sqrt{5}}\\{\frac{|2×（-1）+{a}^{2}+1|}{\sqrt{5}}＜\sqrt{5}}\end{array}\right.$，解得-$\sqrt{6}$＜a＜$\sqrt{6}$．

当两平行直线和圆相离时，有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{|2×（-1）+a|}{\sqrt{5}}＞\sqrt{5}}\\{\frac{|2×（-1）+{a}^{2}+1|}{\sqrt{5}}＞\sqrt{5}}\end{array}\right.$，解得 a＜-3 或a＞7．
故当两平行直线和圆相切时，把以上两种情况下求得的a的范围取并集后，再取此并集的补集，即得所求．
故所求的a的取值范围是-3≤a≤-$\sqrt{6}$或$\sqrt{6}$≤a≤7，
故选：D．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．